1990 年考研数学（三） 第 2 题

分段函数在分界点「连续定 $A$」→ $A=$ 该点极限；分子含 $f(x)$ 且 $f(0)=0$ 时，$\frac{f(x)-f(0)}{x}\to f^{\prime }(0)$。坑：必须有 $f(0)=0$ 才能凑成导数定义。

本题考查「用连续性定分段函数的待定值」。 $F$ 在 $x=0$ 连续 $⟺A=F(0)=\underset{x\to 0}{\lim }F(x)$，故只需求这个极限。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)+a\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}+a\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=f^{\prime }(0)+a=b+a.$

（用了 $f(0)=0$、导数定义 $\frac{f(x)-f(0)}{x}\to f^{\prime }(0)$ 与重要极限 $\frac{\sin x}{x}\to 1$。）故 $A=a+b$。