1990 年考研数学（三） 第 1 题

看到「两个同阶根式相减 $\to \infty$」→ 分子有理化 $\sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$，再同除最高次幂。坑：分母是两根式之和（不为零），别当成一项。

本题考查 $\infty -\infty$ 型数列极限。 两个同阶趋于 $\infty$ 的根式相减，先用「分子有理化」把差化为商，消去主项。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n+3\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n+3\sqrt{n})-(n-\sqrt{n})}{\sqrt{n+3\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{n+3\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}.$

分子分母同除 $\sqrt{n}$：$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4}{\sqrt{1+\frac{3}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}}=\frac{4}{1+1}=2.$