1990 年考研数学（三） 第 19 题

证「两不同特征值的特征向量之和非特征向量」→ 反证，设其属于某 $\mu$，两种方式算 $A(X_1+X_2)$ 作差，靠 $X_1,X_2$ 线性无关逼出 ${\lambda }_1={\lambda }_2$ 矛盾。坑：$\mu$ 是未知特征值，别默认它等于 ${\lambda }_1$ 或 ${\lambda }_2$。

本题考查不同特征值对应特征向量的线性无关性。 已知 $A{X}_1={\lambda }_1{X}_1,A{X}_2={\lambda }_2{X}_2$，且 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$，故 $X_1,X_2$ 线性无关。

反证：设 $X_1+X_2$ 是 $A$ 属于某特征值 $\mu$ 的特征向量，则 $A(X_1+X_2)=\mu (X_1+X_2)$。

又 $A(X_1+X_2)={\lambda }_1{X}_1+{\lambda }_2{X}_2$，两式相减得 $({\lambda }_1-\mu )X_1+({\lambda }_2-\mu )X_2=0$。由 $X_1,X_2$ 线性无关得 ${\lambda }_1-\mu =0,{\lambda }_2-\mu =0$，即 ${\lambda }_1={\lambda }_2$，与已知矛盾。故 $X_1+X_2$ 不是 $A$ 的特征向量。