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1990 年考研数学（三）第 20 题

解答题 · 4 分

从

0, 1, 2, \dots, 9

十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：

A_{1} = {

三个数字中不含

0

和

5}

，

A_{2} = {

三个数字中不含

0

或

5}

，

A_{3} = {

三个数字中含

0

但不含

5}

。

提示 1

总数

(3 10) = 120

，用古典概型

P = \frac{有利}{120}

。

提示 2

A_{1}

：避开

0, 5

，从

8

个里选

3

。

提示 3

A_{2}

是「或」，用容斥或取对立「同时含

0, 5

」；

A_{3}

固定含

0

、去掉

5

，再从

8

个选

2

。

答案与详解

答案 $P (A_{1}) = \frac{7}{15}, P (A_{2}) = \frac{14}{15}, P (A_{3}) = \frac{7}{30}$

思路（为什么这么做）

「取若干数字、含/不含某些元素」→ 古典概型，分子用组合计数；「不含

A

或不含

B

」=

1 - P {

同时含

A, B}

（容斥更省事）。坑：

A_{2}

的「或」不是把两个「不含」概率相加。

解答

本题考查古典概型 + 组合计数。 样本点总数

= (3 10) = 120

（无序取

3

个不同数字）。

A_{1}

「既不含

0

也不含

5

」：从其余

8

个数字选

3

个，

P (A_{1}) = \frac{( 3 8 )}{( 3 10 )} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15}

。

A_{2}

「不含

0

或不含

5

」：由容斥

(3 9) + (3 9) - (3 8) = 84 + 84 - 56 = 112

，

P (A_{2}) = \frac{112}{120} = \frac{14}{15}

。（更快：

A_{2}

的对立是「同时含

0

和

5

」，

P = 1 - \frac{( 1 8 )}{( 3 10 )} = 1 - \frac{8}{120} = \frac{14}{15}

。）

A_{3}

「含

0

但不含

5

」：固定含

0

、排除

5

，再从剩下

8

个数字选

2

个，

P (A_{3}) = \frac{( 2 8 )}{( 3 10 )} = \frac{28}{120} = \frac{7}{30}

。

考点：古典概型与几何概型、样本空间与随机事件

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