乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 1990 年

1990 年考研数学（三）第 21 题

解答题 · 5 分

某一电子仪器由两个部件构成，以

X

和

Y

分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知

X

和

Y

的联合分布函数为

F (x, y) = {1 - e^{- 0.5 x} - e^{- 0.5 y} + e^{- 0.5 (x + y)}, 0, x \geq 0, y \geq 0, 其他 .

（1）问

X

和

Y

是否独立？（2）求两个部件的寿命都超过

100

小时的概率

α

。

提示 1

令

y \to + \infty

、

x \to + \infty

分别得边缘分布

F_{X}, F_{Y}

。

提示 2

验证

F (x, y) = F_{X} (x) F_{Y} (y)

是否处处成立以判独立。

提示 3

(2) 单位换算

100

小时

= 0.1

千小时，

P {X > 0.1} = 1 - F_{X} (0.1) = e^{- 0.05}

。

答案与详解

答案（1） $X$ 与 $Y$ 相互独立；（2） $α = e^{- 0.1}$

思路（为什么这么做）

给联合分布函数判独立 → 取极限求两个边缘

F_{X}, F_{Y}

，看是否

F = F_{X} F_{Y}

；求

P {X > a, Y > b}

用独立拆积。坑：单位是「千小时」，

100

小时要换成

0.1

；

P {X > a} = 1 - F_{X} (a)

。

解答

本题考查由联合分布函数求边缘分布、判独立、算概率。 边缘

F_{X} (x) = F (x, + \infty), F_{Y} (y) = F (+ \infty, y)

。

(1)

F_{X} (x) = F (x, + \infty) = 1 - e^{- 0.5 x} (x \geq 0, 否则 0)

；

F_{Y} (y) = F (+ \infty, y) = 1 - e^{- 0.5 y} (y \geq 0, 否则 0)

。因

(1 - e^{- 0.5 x}) (1 - e^{- 0.5 y}) = 1 - e^{- 0.5 x} - e^{- 0.5 y} + e^{- 0.5 (x + y)} = F (x, y)

，即

F = F_{X} F_{Y}

，故

X, Y

相互独立。

(2)

100

小时

= 0.1

千小时。由独立性

α = P {X > 0.1, Y > 0.1} = P {X > 0.1} P {Y > 0.1} = [1 - F_{X} (0.1)] [1 - F_{Y} (0.1)] = e^{- 0.05} \cdot e^{- 0.05} = e^{- 0.1} .

考点：二维随机变量与联合分布、边缘分布与条件分布、随机变量的独立性

← 1990 年全部题目