1990 年考研数学（三） 第 18 题

证 $E-A$ 可逆（$A$ 幂零 $A^k=O$）→ 用因式分解 $(E-A)(E+A+\cdots +A^{k-1})=E-A^k=E$ 直接给出逆。坑：也可用「幂零阵特征值全为 $0\Rightarrow |E-A|=1$」判可逆。

本题考查幂零矩阵的可逆性与逆矩阵的构造。 关键是类比等比因式分解 $1-t^k=(1-t)(1+t+\cdots +t^{k-1})$。

由 $A^k=O$ 得 $E=E-A^k=(E-A)(E+A+A^2+\cdots +A^{k-1})$。这说明 $E-A$ 可逆，且 $(E-A{)}^{-1}=E+A+A^2+\cdots +A^{k-1}$。

（另证：设 $Ax=\lambda x(x\ne 0)$，则 $A^{k}x={\lambda }^{k}x=0\Rightarrow {\lambda }^k=0\Rightarrow \lambda =0$，即 $A$ 的特征值全为 $0$，于是 $E-A$ 的特征值全为 $1$，$|E-A|=1\ne 0$，故可逆。）