1990 年考研数学（三） 第 14 题

一阶线性 ODE → 套通解 $y={\mathrm{e}}^{-\int P}(\int Q{\mathrm{e}}^{\int P}dx+C)$。坑：本题 $Q$ 里的 ${\mathrm{e}}^{-\sin x}$ 恰与积分因子 ${\mathrm{e}}^{\sin x}$ 抵消，别急着展开成复杂积分。

本题考查一阶线性微分方程 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$ 的通解公式。 这里 $P(x)=\cos x,Q(x)=(\ln x){\mathrm{e}}^{-\sin x}$，$\int Pdx=\sin x$。

$y={\mathrm{e}}^{-\int \cos xdx}\left[\int (\ln x){\mathrm{e}}^{-\sin x}{\mathrm{e}}^{\int \cos xdx}dx+C\right]={\mathrm{e}}^{-\sin x}\left[\int (\ln x){\mathrm{e}}^{-\sin x}{\mathrm{e}}^{\sin x}dx+C\right].$

因 ${\mathrm{e}}^{-\sin x}{\mathrm{e}}^{\sin x}=1$，$y={\mathrm{e}}^{-\sin x}\left(\int \ln xdx+C\right)=(x\ln x-x+C){\mathrm{e}}^{-\sin x}$（用了 $\int \ln xdx=x\ln x-x$）。