1990 年考研数学（三） 第 13 题

求 $\sum a_n(x-x_0{)}^n$ 收敛域 → 比值/根值定 $R$，再单独查两端点。坑：本题端点均为 $\sum \frac{(\pm 1{)}^n}{n^2}$，绝对收敛，收敛域是闭区间 $[2,4]$。

本题考查幂级数收敛域（收敛半径 + 端点判别）。 令 $t=x-3$，系数 $a_n=\frac{1}{n^2}$。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{(n+1{)}^2}=1$，故收敛半径 $R=1$，即 $|x-3|<1$ 时收敛。

端点 $x-3=\pm 1$ 时，$\sum \left|\frac{(\pm 1{)}^n}{n^2}\right|=\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛（$p=2>1$），两端点都绝对收敛。故收敛域为 $-1\le x-3\le 1$，即 $x\in [2,4]$。