1990 年考研数学（三） 第 12 题

二重积分里出现 ${\mathrm{e}}^{-y^2}$（对 $y$ 无初等原函数）→ 必须先对 $x$ 积分把它当常数，区域改写成 $y$ 作外层。坑：$y=k{x}^2$ 在第一象限解 $x=\sqrt{y}/\sqrt{k}$，$9x^2$ 对应较小的 $x$。

本题考查二重积分（选择积分次序 + 反常积分）。 被积含 ${\mathrm{e}}^{-y^2}$（对 $y$ 无初等原函数），应先对 $x$ 积分、后对 $y$ 积分。

两曲线在第一象限，对固定 $y$，$x$ 从 $\frac{\sqrt{y}}{3}$（来自 $y=9x^2$）到 $\frac{\sqrt{y}}{2}$（来自 $y=4x^2$），$y:0\to +\infty$。

${\iint }_{D}x{\mathrm{e}}^{-y^2}dxdy={\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-y^2}{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_{\sqrt{y}/3}^{\sqrt{y}/2}dy={\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-y^2}\cdot \frac{1}{2}(\frac{y}{4}-\frac{y}{9})dy=\frac{5}{72}{\int }_0^{+\infty }y{\mathrm{e}}^{-y^2}dy.$

$=\frac{5}{72}\cdot \frac{1}{2}{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-y^2}d(y^2)=\frac{5}{144}{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-u}du=\frac{5}{144}.$