1990 年考研数学（三） 第 11 题

「变上限积分函数在区间上的最值」→ 先由 $I^{\prime }(x)$（被积函数）定单调，最值必在端点，再实算该端点定积分。坑：分母 $(t-1{)}^2$ 提示分部 $d\left(\frac{1}{t-1}\right)$，剩下有理式用部分分式。

本题考查变上限积分求导 + 单调性求最值 + 定积分计算。 先由 $I^{\prime }(x)$ 定符号，再算最值端点处的定积分。

$I^{\prime }(x)=\frac{\ln x}{x^2-2x+1}=\frac{\ln x}{(x-1{)}^2}>0(\mathrm{e}<x<{\mathrm{e}}^2)$，故 $I(x)$ 在 $[\mathrm{e},{\mathrm{e}}^2]$ 上单调递增，最大值在右端点 $x={\mathrm{e}}^2$ 取得。

$M=I({\mathrm{e}}^2)={\int }_{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^2}\frac{\ln t}{(t-1{)}^2}dt=-{\int }_{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^2}\ln td\left(\frac{1}{t-1}\right)=-{\left[\frac{\ln t}{t-1}\right]}_{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^2}+{\int }_{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^2}\frac{dt}{t(t-1)}.$

第一项 $=\frac{1}{\mathrm{e}-1}-\frac{2}{{\mathrm{e}}^2-1}=\frac{1}{\mathrm{e}+1}$；第二项 $={\int }_{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^2}(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t})dt=\ln \frac{t-1}{t}{|}_{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^2}=\ln \frac{\mathrm{e}+1}{\mathrm{e}}$。故 $M=\frac{1}{\mathrm{e}+1}+\ln \frac{\mathrm{e}+1}{\mathrm{e}}$。