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1990 年考研数学（三）第 10 题

选择题 · 3 分

设随机变量

X

和

Y

相互独立，其概率分布为

X \sim (- 1 \frac{1}{2} 1 \frac{1}{2}), Y \sim (- 1 \frac{1}{2} 1 \frac{1}{2}),

则下列结论正确的是（　　）。

A $X = Y$
B $P {X = Y} = 0$
C $P {X = Y} = \frac{1}{2}$
D $P {X = Y} = 1$

提示 1

{X = Y}

拆成

{X = - 1, Y = - 1}

与

{X = 1, Y = 1}

两个互斥事件。

提示 2

用独立性把联合概率写成边缘概率之积。

提示 3

相加得

P {X = Y} = \frac{1}{2}

。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

两独立同分布离散变量求

P {X = Y}

→ 枚举「取同值」各互斥情形，逐个用

P {X = a} P {Y = a}

求和。坑：独立且同分布

\neq = X = Y

（A、D 是陷阱）。

解答

本题考查独立离散型随机变量事件概率的计算。

{X = Y} = {X = - 1, Y = - 1} \cup {X = 1, Y = 1}

，两事件互斥。

由独立性

P {X = - 1, Y = - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}, P {X = 1, Y = 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

。

故

P {X = Y} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

，选 C。（

X, Y

同分布且独立，并不意味着

X = Y

，故 A、D 错。）

考点：随机变量的独立性、离散型随机变量及其分布律

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