1989 年考研数学（三） 第 6 题

判两无穷小阶关系→ 求比值极限 $L=\lim f/x$：$L=0$ 高阶、$L=\infty$ 低阶、$L$ 有限非 $0$ 同阶（$=1$ 才等价）。坑：$a^x-1\sim x\ln a$。

本题考查无穷小的阶的比较。 $x\to 0$ 时 $f(x)=2^x+3^x-2\to 0$，是无穷小，比较其与 $x$ 的阶即求 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}$。

利用 $a^x-1\sim x\ln a$：$2^x-1\sim x\ln 2,3^x-1\sim x\ln 3$，故 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2^x+3^x-2}{x}=\ln 2+\ln 3=\ln 6$。

极限 $=\ln 6$，为非零有限值且 $\ne 1$，故 $f(x)$ 与 $x$ 同阶但非等价，选 B。