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1989 年考研数学（三）第 5 题

填空题 · 3 分

设随机变量

X

的数学期望

E (X) = μ

，方差

D (X) = σ^{2}

，则由切比雪夫不等式，有

P {∣ X - μ ∣ \geq 3 σ} \leq

___

提示 1

直接套切比雪夫不等式，令

ε = 3 σ

。

提示 2

\frac{D ( X )}{ε ^{2}} = \frac{σ ^{2}}{9 σ ^{2}}

。

答案与详解

答案 $\frac{1}{9}$

思路（为什么这么做）

已知期望方差、要估

P {∣ X - μ ∣ \geq k σ}

→ 套切比雪夫

\leq \frac{σ ^{2}}{( k σ ) ^{2}} = \frac{1}{k ^{2}}

。坑：结果与

σ

无关，只由

k

决定。

解答

本题考查切比雪夫不等式

P {∣ X - μ ∣ \geq ε} \leq \frac{D ( X )}{ε ^{2}}

。

取

ε = 3 σ

：

P {∣ X - μ ∣ \geq 3 σ} \leq \frac{σ ^{2}}{( 3 σ ) ^{2}} = \frac{1}{9}

。

考点：切比雪夫不等式

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