1989 年考研数学（三）第 4 题

填空题 · 3 分

设随机变量

X

的分布函数为

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, A sin x, 1, x < 0, 0 \leq x \leq \frac{π}{2}, x > \frac{π}{2},

则

A =

___，

P {∣ X ∣ < \frac{π}{6}} =

___

提示 1

用

F

在

x = π /2

处连续（左极限＝函数值＝1）定

A

。

提示 2

P {a < X \leq b} = F (b) - F (a)

；

∣ X ∣ < π /6

即

- π /6 < X < π /6

。

提示 3

x < 0

段

F = 0

，故只剩

F (π /6) - F (0) = sin (π /6)

。

答案与详解

答案 $A = 1$ ； $P {∣ X ∣ < \frac{π}{6}} = \frac{1}{2}$

思路（为什么这么做）

分段分布函数定常数→ 用连续性

F (x_{0} - 0) = F (x_{0})

；求

P {a < X < b}

→ 用

F (b) - F (a)

。坑：

∣ X ∣ < c

要展开成

- c < X < c

，再用

F = 0

段化简。

解答

本题考查用分布函数的连续性定常数、并用 $F$ 算概率。 分布函数在

x = \frac{π}{2}

处连续，由

F (\frac{π}{2} - 0) = F (\frac{π}{2})

：

A sin \frac{π}{2} = 1 \Rightarrow A = 1

。

P {∣ X ∣ < \frac{π}{6}} = P {- \frac{π}{6} < X < \frac{π}{6}}

。因

x < 0

时

F = 0

（无概率质量），故

= P {0 < X < \frac{π}{6}} = F (\frac{π}{6}) - F (0)

。

= sin \frac{π}{6} - 0 = \frac{1}{2}

。

1989 年考研数学（三） 第 4 题