1989 年考研数学（三） 第 2 题

求幂级数收敛域→ 比值/根值法定 $R$，再逐一代入端点判敛。坑：两端点必须单独判，$\sum 1/\sqrt{n+1}$ 发散、交错后才收敛。

本题考查幂级数收敛半径与端点收敛性。 由 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}=1$，得收敛半径 $R=1$。

端点 $x=-1$：级数为 $\sum \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n+1}}$，由莱布尼茨判别法收敛。

端点 $x=1$：级数为 $\sum \frac{1}{\sqrt{n+1}}$，是 $p=\frac{1}{2}\le 1$ 的 $p$-级数，发散。故收敛域为 $[-1,1)$。