乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 1989 年

1989 年考研数学（三）第 1 题

填空题 · 3 分

曲线

y = x + sin^{2} x

在点

(\frac{π}{2}, 1 + \frac{π}{2})

处的切线方程是 ___

提示 1

切线斜率＝该点处的导数值，先求

y^{'}

。

提示 2

sin^{2} x

求导用倍角/链式法则：

(sin^{2} x)^{'} = sin 2 x

。

提示 3

用点斜式写切线并化简，含

π /2

的项会相消。

答案与详解

答案 $y = x + 1$

思路（为什么这么做）

看到“求某点切线方程”→ 先求导得斜率

k = f^{'} (x_{0})

，再用点斜式

y - y_{0} = k (x - x_{0})

。坑：

(sin^{2} x)^{'} = 2 sin x cos x = sin 2 x

，别漏系数。

解答

本题考查导数的几何意义（切线斜率＝该点导数值）。 先求导：

y^{'} = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2 x

。

在

x = \frac{π}{2}

处斜率

k = y^{'} (\frac{π}{2}) = 1 + sin π = 1

。

由点斜式

y - (1 + \frac{π}{2}) = 1 \cdot (x - \frac{π}{2})

，化简得

y = x + 1

。

考点：导数与微分的概念、求导法则（四则、复合、反函数）

← 1989 年全部题目