1989 年考研数学（三） 第 19 题

求 $g(A)$（如 $E+A^{-1}$）的特征值→ 用“$A$ 的特征值 $\lambda$ 对应 $g(A)$ 的 $g(\lambda )$”，其中 $A^{-1}\to 1/\lambda$。坑：用 $A^{-1}$ 需 $\lambda \ne 0$；重根 $\lambda =1$ 对应两个特征值都为 $2$。

本题考查特征值计算及特征值在矩阵变换下的性质。 （1）$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda +1& -2& -2\\ -2& \lambda +1& 2\\ -2& 2& \lambda +1\end{array}\right|=(\lambda +5)(\lambda -1{)}^2$，故 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=-5,{\lambda }_2={\lambda }_3=1$。

（2）若 $A\alpha =\lambda \alpha$（$\lambda \ne 0$），则 $A^{-1}\alpha =\frac{1}{\lambda }\alpha$，从而 $(E+A^{-1})\alpha =\left(1+\frac{1}{\lambda }\right)\alpha$，即 $E+A^{-1}$ 的特征值为 $1+\frac{1}{\lambda }$（特征向量不变）。

代入：$\lambda =-5$ 得 $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$；$\lambda =1$（二重）得 $1+1=2$。故 $E+A^{-1}$ 的特征值为 $\frac{4}{5},2,2$。