1989 年考研数学（三） 第 20 题

联合密度能分离成 $g(x)h(y)$→ 变量独立，概率/期望都拆成一维积分之积，$E(XY)=E(X)E(Y)$。坑：$P\{X<Y\}$ 要设对积分限（$0<x<y$），或用同分布对称性直接得 $1/2$。

本题考查二维连续型随机变量求概率与求期望。 注意 $f(x,y)=e^{-x}\cdot e^{-y}$（$x,y>0$），即 $X,Y$ 相互独立且都服从参数为 $1$ 的指数分布。

（1）$P\{X<Y\}={\iint }_{x<y}fdxdy={\int }_0^{+\infty }{e}^{-y}\left({\int }_0^y{e}^{-x}dx\right)dy={\int }_0^{+\infty }{e}^{-y}(1-e^{-y})dy=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。（也可由 $X,Y$ 同分布的对称性直接得 $\frac{1}{2}$。）

（2）由独立性 $E(XY)=E(X)E(Y)$：$E(XY)={\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x}dx\cdot {\int }_0^{+\infty }y{e}^{-y}dy=1\times 1=1$。