1989 年考研数学（三） 第 21 题

“$n$ 次独立重复、某事件至少 $k$ 次”→ 先算单次概率 $p$，再套二项分布 $B(n,p)$ 求 $P\{Y\ge k\}$。坑：均匀分布 $P\{X>3\}$ 用长度比 $\frac{5-3}{5-2}=\frac{2}{3}$，别错算区间。

本题考查均匀分布求概率与二项分布。 $X\sim U[2,5]$，密度 $f(x)=\frac{1}{3}(2<x<5)$。单次观测中 $X>3$ 的概率 $p=P\{X>3\}={\int }_3^5\frac{1}{3}dx=\frac{2}{3}$。

设 $Y$ 为三次独立观测中“$X>3$”发生的次数，则 $Y\sim B\left(3,\frac{2}{3}\right)$。

$P\{Y\ge 2\}=P\{Y=2\}+P\{Y=3\}=C_3^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\left(\frac{1}{3}\right)+C_3^3{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{12}{27}+\frac{8}{27}=\frac{20}{27}$。