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1988 年考研数学（三） 第 8 题
选择题 · 2 分
判断下述命题是否正确：设 和 都是 阶非零矩阵，且 ，则 的秩必小于 。
- A正确
- B错误
提示 1
用 。提示 2
。提示 3
或反证： 满秩可逆会推出 。答案与详解
答案 A
思路（为什么这么做）
且两者非零 → Sylvester 不等式 ；由 逼出 。坑：也可用" 可逆则 "的反证一句话搞定。
解答
本题考查矩阵乘积为零的秩不等式（Sylvester 不等式）。 由 知 。
因为 是非零矩阵，，故 。命题正确（√）。
另证：若 则 可逆，，与 非零矛盾，故 。
因为 是非零矩阵，，故 。命题正确（√）。
另证：若 则 可逆，，与 非零矛盾，故 。
考点：矩阵的秩、齐次线性方程组与基础解系