1988 年考研数学（三） 第 3 题

反对角/置换矩阵求逆 → 先看 $A^2$ 是否为 $E$（对合矩阵满足 $A^{-1}=A$），或按对角分块用小块求逆。坑：反对角单位型矩阵的逆仍是它自己，不必死算伴随。

本题考查特殊（反对角/置换）矩阵求逆。 $A$ 是把坐标 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 倒序的置换矩阵，直接验证 $A^2=E$，故 $A^{-1}=A$。

也可分块：记 $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$，则 $B^{-1}=B$，且 $A=\left(\begin{array}{cc}O& B\\ B& O\end{array}\right)$。

于是 $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ B^{-1}& O\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}O& B\\ B& O\end{array}\right)=A$。