1988 年考研数学（三） 第 20 题

含 $A^{\ast }$ 与 $(cA{)}^{-1}$ 的行列式 → 先用 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$、$(cA{)}^{-1}=\frac{1}{c}{A}^{-1}$ 把一切化成 $A^{-1}$ 的数乘，再用 $|k{A}^{-1}|=k^n|A^{-1}|$。坑：$n=3$ 时提出的常数要三次方，负号别丢。

本题考查伴随矩阵与逆矩阵的关系及行列式的数乘性质。 关键公式 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$。

由 $|A|=\frac{1}{2}$ 得 $|A^{-1}|=2$，且 $A^{\ast }=|A|A^{-1}=\frac{1}{2}{A}^{-1}$。

于是 $(3A{)}^{-1}-2A^{\ast }=\frac{1}{3}{A}^{-1}-2\cdot \frac{1}{2}{A}^{-1}=\left(\frac{1}{3}-1\right)A^{-1}=-\frac{2}{3}{A}^{-1}$。

故 $\left|(3A{)}^{-1}-2A^{\ast }\right|=\left|-\frac{2}{3}{A}^{-1}\right|={\left(-\frac{2}{3}\right)}^3|A^{-1}|=-\frac{8}{27}\cdot 2=-\frac{16}{27}$（$n=3$）。