1988 年考研数学（三）第 21 题

解答题 · 7 分

玻璃杯成箱出售，每箱

20

只。假设各箱含

0, 1, 2

只次品的概率分别为

0.8, 0.1, 0.1

。一顾客欲购买一箱，购买时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机查看

4

只，若无次品则买下该箱，否则不买。求：(1) 顾客买下该箱的概率

α

；(2) 在顾客买下的一箱中确实没有次品的概率

β

。

提示 1

设

A_{i} =

箱含

i

只次品，

B =

买下；先求各条件概率

P (B ∣ A_{i}) = C_{20 - i}^{4} / C_{20}^{4}

（超几何）。

提示 2

(1) 用全概率公式

P (B) = \sum P (A_{i}) P (B ∣ A_{i})

。

提示 3

(2) 用贝叶斯公式

P (A_{0} ∣ B) = P (A_{0}) P (B ∣ A_{0}) / P (B)

。

答案与详解

答案 (1) $α = P (B) = 0.8 + 0.1 \cdot \frac{4}{5} + 0.1 \cdot \frac{12}{19} \approx 0.94$ ；(2) $β = \frac{0.8}{α} \approx 0.85$

思路（为什么这么做）

"先分类取箱、再抽检"的两阶段问题 → 全概率求

P (B)

，反问"买下的箱无次品"用贝叶斯。坑：

P (B ∣ A_{i})

是超几何

C_{20 - i}^{4} / C_{20}^{4}

（不放回），不是二项。

解答

本题考查全概率公式与贝叶斯公式（抽检为超几何概型）。 设

A_{i} = {

箱中恰有

i

只次品

} (i = 0, 1, 2)

，

P (A_{0}) = 0.8, P (A_{1}) = P (A_{2}) = 0.1

；

B = {

顾客买下该箱

}

。

查看

4

只均无次品的条件概率（超几何、不放回）：

P (B ∣ A_{0}) = 1, P (B ∣ A_{1}) = \frac{C _{19}^{4}}{C _{20}^{4}} = \frac{4}{5}, P (B ∣ A_{2}) = \frac{C _{18}^{4}}{C _{20}^{4}} = \frac{12}{19}

。

(1) 全概率公式：

α = P (B) = i = 0 \sum 2 P (A_{i}) P (B ∣ A_{i}) = 0.8 \cdot 1 + 0.1 \cdot \frac{4}{5} + 0.1 \cdot \frac{12}{19} = \frac{448}{475} \approx 0.943

（约

0.94

）。

(2) 贝叶斯公式：

β = P (A_{0} ∣ B) = \frac{P ( A _{0} ) P ( B ∣ A _{0} )}{P ( B )} = \frac{0.8}{α} = \frac{95}{112} \approx 0.848

（约

0.85

）。

1988 年考研数学（三） 第 21 题