1988 年考研数学（三） 第 19 题

由无关组线性组合出的新向量组判相关性 → 设线性组合为 $0$，用原组无关把它化成 $k_i$ 的齐次方程组，看系数行列式是否为 $0$。坑：循环构造 ${\beta }_s={\alpha }_s+{\alpha }_1$ 使 $D=1+(-1{)}^{s+1}$，答案按 $s$ 的奇偶分类。

本题考查线性相关性的定义判定（转化为齐次方程组 / 系数行列式）。 设 $k_1{\beta }_1+k_2{\beta }_2+\cdots +k_s{\beta }_s=0$。

代入 ${\beta }_i={\alpha }_i+{\alpha }_{i+1}$（下标循环，${\alpha }_{s+1}={\alpha }_1$）并按 ${\alpha }_i$ 整理：$(k_1+k_s){\alpha }_1+(k_1+k_2){\alpha }_2+\cdots +(k_{s-1}+k_s){\alpha }_s=0$。由 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性无关，各系数为 $0$，得齐次方程组 $\{\begin{array}{l}{k}_1+k_s=0,\\ k_1+k_2=0,\\ ⋮\\ k_{s-1}+k_s=0.\end{array}$

其系数行列式 $D=\left|\begin{array}{ccccc}1& 0& \cdots & 0& 1\\ 1& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& 1\end{array}\right|=1+(-1{)}^{s+1}$。

$s$ 为奇数时 $D=2\ne 0$，齐次方程组只有零解，故 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s$ 线性无关；$s$ 为偶数时 $D=0$，有非零解，故 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s$ 线性相关。