1988 年考研数学（三） 第 18 题

含参方程组判解 → 增广矩阵化阶梯形，看主元是否为 $0$；秩相等且 $<n$ 才有无穷多解。坑：$k_1$ 决定系数矩阵的秩、$k_2$ 决定相容性，两参数要分层讨论。

本题考查含参数线性方程组解的判定与求解（增广矩阵初等行变换）。

对增广矩阵 $\bar{A}$ 作行变换，可化为 $\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 2& 3& 1\\ 0& 1& 2& -1& 1\\ 0& 0& -k_1+2& 2& 4\\ 0& 0& 0& 3& k_2+5\end{array}\right)$。当 $-k_1+2\ne 0$，即 $k_1\ne 2$ 时，系数矩阵秩为 $4$，方程组有唯一解（$k_2$ 任意）。

当 $k_1=2$ 时，第三行成为 $(0,0,0,2|4)$，与第四行 $(0,0,0,3|k_2+5)$ 都只含 $x_4$。由第三行 $x_4=2$ 代入第四行需 $6=k_2+5$：若 $k_2\ne 1$，则 $r(A)\ne r(\bar{A})$，方程组无解；若 $k_2=1$，则 $r(A)=r(\bar{A})=3<4$，有无穷多组解。

$k_1=2,k_2=1$ 时增广矩阵化为 $\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& -8\\ 0& 1& 2& 0& 3\\ 0& 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，取 $x_3$ 为自由未知量，得一般解 $X=k(0,-2,1,0{)}^T+(-8,3,0,2{)}^T(k\in \mathbb{R})$。