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1988 年考研数学（三）第 17 题

解答题 · 8 分

过曲线

y = x^{2} (x \geq 0)

上某点

A

处作一切线，使之与曲线以及

x

轴所围图形的面积为

\frac{1}{12}

，求：(1) 切点

A

的坐标；(2) 过切点

A

的切线方程；(3) 由上述所围平面图形绕

x

轴旋转一周所成旋转体的体积。

提示 1

设切点

(a, a^{2})

，写切线

y = 2 a x - a^{2}

，求它与

x

轴交点

(\frac{a}{2}, 0)

。

提示 2

面积

=

抛物线下面积

-

切线与

x

轴围成的三角形面积

= \frac{a ^{3}}{12}

，令其

= \frac{1}{12}

解出

a

。

提示 3

体积用圆盘法：

π \int_{0}^{1} x^{4} d x - π \int_{1/2}^{1} (2 x - 1)^{2} d x

。

答案与详解

答案 (1) $A (1, 1)$ ；(2) $y = 2 x - 1$ ；(3) $V = \frac{π}{30}$

思路（为什么这么做）

由"围成面积"反求切点 → 设切点参数

a

，把面积算成

a

的函数并令其等于给定值。坑：旋转体体积要"抛物线旋转体减去切线（圆锥）旋转体"，切线从

x = \frac{1}{2}

（与

x

轴交点）起算。

解答

本题考查切线方程 + 定积分求面积（由给定面积反求切点）+ 旋转体体积。

(1)(2) 设切点

A (a, a^{2}) (a > 0)

，切线

y - a^{2} = 2 a (x - a)

，即

y = 2 a x - a^{2}

，与

x

轴交于

(\frac{a}{2}, 0)

。所围面积

= \int_{0}^{a} x^{2} d x - \frac{1}{2} \cdot (a - \frac{a}{2}) \cdot a^{2} = \frac{a ^{3}}{3} - \frac{a ^{3}}{4} = \frac{a ^{3}}{12}

。令

\frac{a ^{3}}{12} = \frac{1}{12}

得

a = 1

，故

A (1, 1)

，切线

y = 2 x - 1

。

(3) 图形绕

x

轴旋转，用"抛物线旋转体"减去"切线（圆锥）旋转体"：

V = π \int_{0}^{1} (x^{2})^{2} d x - π \int_{1/2}^{1} (2 x - 1)^{2} d x = \frac{π}{5} - \frac{π}{6} = \frac{π}{30}

。

考点：定积分几何应用（面积、旋转体体积、平均值）、导数应用：最值、渐近线、作图

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