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1988 年考研数学（三）第 16 题

解答题 · 8 分

已知某商品的需求量

D

和供给量

S

都是价格

p

的函数：

D = D (p) = \frac{a}{p ^{2}}, S = S (p) = b p

，其中

a > 0, b > 0

为常数；价格

p

是时间

t

的函数且满足方程

\frac{d p}{d t} = k [D (p) - S (p)]

（

k

为正常数）。假设当

t = 0

时价格为

1

，求：(1) 需求量等于供给量时的均衡价格

p_{e}

；(2) 价格函数

p (t)

；(3) 极限

t \to + \infty lim p (t)

。

提示 1

(1) 均衡价格由

D (p) = S (p)

解出，记

p_{e}^{3} = a / b

。

提示 2

(2) 把方程右端凑成

\frac{k b}{p ^{2}} (p_{e}^{3} - p^{3})

，分离变量

\frac{p ^{2} d p}{p ^{3} - p _{e}^{3}} = - k b d t

后积分（可令

u = p^{3} - p_{e}^{3}

），用

p (0) = 1

定常数。

提示 3

(3)

t \to + \infty

时指数项衰减到

0

，价格趋于均衡价格

p_{e}

。

答案与详解

答案 (1) $p_{e} = 3 a / b$ （即 $p_{e}^{3} = a / b$ ）；(2) $p (t) = [p_{e}^{3} + (1 - p_{e}^{3}) e^{- 3 k b t}]^{1/3}$ ；(3) $t \to + \infty lim p (t) = p_{e}$

思路（为什么这么做）

微分方程的经济应用（价格调整模型）→ 先由供需相等求均衡价

p_{e}

，再分离变量解

p (t)

，长期极限即

p_{e}

。坑：把

\frac{a}{p ^{2}} - b p

提出

\frac{b}{p ^{2}}

凑出

p_{e}^{3} - p^{3}

才好积分（换元

u = p^{3} - p_{e}^{3}

）。

解答

本题考查微分方程的经济应用（可分离变量方程 + 均衡价格）。

(1) 令

D (p) = S (p)

：

\frac{a}{p ^{2}} = b p \Rightarrow p^{3} = \frac{a}{b}

，故均衡价格

p_{e} = 3 a / b

，

p_{e}^{3} = a / b

。

(2) 代入方程：

\frac{d p}{d t} = k (\frac{a}{p ^{2}} - b p) = \frac{k b}{p ^{2}} (p_{e}^{3} - p^{3})

。分离变量

\frac{p ^{2} d p}{p ^{3} - p _{e}^{3}} = - k b d t

，积分得

\frac{1}{3} ln ∣ p^{3} - p_{e}^{3} ∣ = - k b t + C_{1}

，即

p^{3} = p_{e}^{3} + C e^{- 3 k b t}

。由

p (0) = 1

得

C = 1 - p_{e}^{3}

，故

p (t) = [p_{e}^{3} + (1 - p_{e}^{3}) e^{- 3 k b t}]^{1/3}

。

(3) 因

k, b > 0

，

e^{- 3 k b t} \to 0

，故

t \to + \infty lim p (t) = (p_{e}^{3})^{1/3} = p_{e}

。

考点：微分方程与差分方程的经济应用、一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）

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