1988 年考研数学（三）第 15 题

解答题 · 3 分

已知级数

n = 1 \sum \infty a_{n}^{2}

和

n = 1 \sum \infty b_{n}^{2}

都收敛，试证明级数

n = 1 \sum \infty a_{n} b_{n}

绝对收敛。

提示 1

要证"绝对收敛"即证

\sum ∣ a_{n} b_{n} ∣

收敛。

提示 2

用基本不等式

∣ a_{n} b_{n} ∣ \leq \frac{1}{2} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})

放大。

提示 3

右边级数收敛

+

正项级数比较判别法。

答案与详解

答案由 $∣ a_{n} b_{n} ∣ \leq \frac{1}{2} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})$ 及比较判别法， $\sum a_{n} b_{n}$ 绝对收敛

思路（为什么这么做）

由

\sum a_{n}^{2}, \sum b_{n}^{2}

收敛证

\sum a_{n} b_{n}

绝对收敛 → 万能放缩

∣ a_{n} b_{n} ∣ \leq \frac{1}{2} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})

再比较。坑：必须对

∣ a_{n} b_{n} ∣

（正项）用比较法，"绝对收敛"才成立。

解答

本题考查用比较判别法证明绝对收敛。 关键放缩是均值不等式

∣ a_{n} b_{n} ∣ \leq \frac{1}{2} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})

。

由

\sum a_{n}^{2}, \sum b_{n}^{2}

收敛及级数的线性性质，

\sum \frac{1}{2} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})

收敛。

又

0 \leq ∣ a_{n} b_{n} ∣ \leq \frac{1}{2} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})

，由正项级数比较判别法知

\sum ∣ a_{n} b_{n} ∣

收敛，即

\sum a_{n} b_{n}

绝对收敛。

1988 年考研数学（三） 第 15 题