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1988 年考研数学（三）第 14 题

解答题 · 3 分

讨论级数

n = 1 \sum \infty \frac{( n + 1 )!}{n ^{n + 1}}

的收敛性。

提示 1

含阶乘与

n

次幂，首选比值判别法。

提示 2

化简

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}

时，把

\frac{n ^{n + 1}}{( n + 1 ) ^{n + 1}}

写成

(\frac{n}{n + 1})^{n + 1} = 1/ (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}

。

提示 3

用重要极限

(1 + \frac{1}{n})^{n} \to e

。

答案与详解

答案收敛（比值判别法，极限 $= \frac{1}{e} < 1$ ）

思路（为什么这么做）

通项含

n!

和

n^{n}

→ 比值判别法，关键极限

(1 + \frac{1}{n})^{n} \to e

。坑：

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} \to \frac{1}{e} < 1

收敛，别把

e

记到分子上。

解答

本题考查正项级数的比值判别法（达朗贝尔）。 记

a_{n} = \frac{( n + 1 )!}{n ^{n + 1}} > 0

。

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{( n + 2 )!}{( n + 1 ) ^{n + 2}} \cdot \frac{n ^{n + 1}}{( n + 1 )!} = \frac{n + 2}{n + 1} \cdot \frac{n ^{n + 1}}{( n + 1 ) ^{n + 1}} = \frac{n + 2}{n + 1} \cdot \frac{1}{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n + 1}}

。

令

n \to \infty

：

\frac{n + 2}{n + 1} \to 1

，

(1 + \frac{1}{n})^{n + 1} \to e

，故

n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{1}{e} < 1

，由比值判别法级数收敛。

考点：正项级数的判别法

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