1988 年考研数学（三） 第 13 题

二次积分里出现 $\frac{\cos x}{x},\frac{\sin x}{x},{\mathrm{e}}^{-x^2}$ 等"积不出"的被积函数 → 一定是要交换积分次序。坑：换序后 $\frac{1}{x}$ 恰被内层积分长度 $x$ 约掉。

本题考查交换二次积分的次序。 因 $\frac{\cos x}{x}$ 对 $x$ 没有初等原函数，必须先交换积分次序。

原积分区域为 $0\le y\le \frac{\pi }{6},y\le x\le \frac{\pi }{6}$，即三角形 $0\le x\le \frac{\pi }{6},0\le y\le x$。换序得 ${\int }_0^{\pi /6}\mathrm{d}x{\int }_0^x\frac{\cos x}{x}\mathrm{d}y$。

内层对 $y$ 积分：${\int }_0^x\frac{\cos x}{x}\mathrm{d}y=\frac{\cos x}{x}\cdot x=\cos x$。故 $={\int }_0^{\pi /6}\cos x\mathrm{d}x=\sin x{|}_0^{\pi /6}=\frac{1}{2}$。