1988 年考研数学（三） 第 12 题

被积含 $\sqrt{x}$ → 令 $\sqrt{x}=t$，$\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$，常能与分母约简为 $\arctan$。坑：$x=0$ 是瑕点，严格说是收敛的反常积分（可先验收敛性）。

本题考查含根式的定积分（换元法），并注意 $x=0$ 是瑕点（反常积分）。 由 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}=1$ 且瑕点阶 $\frac{1}{2}<1$，该反常积分收敛。

令 $\sqrt{x}=t$（$x=t^2,\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$），$x:0\to 3$ 对应 $t:0\to \sqrt{3}$：${\int }_0^3\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(1+x)}={\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{2t\mathrm{d}t}{t(1+t^2)}=2{\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}$。

$=2\arctan t{|}_0^{\sqrt{3}}=2\cdot \frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$。