1988 年考研数学（三） 第 11 题

方程确定的隐函数求 $u_{xy}$ → 先各求一阶偏导解出 $u_x,u_y$，再对 $u_x$ 关于 $y$ 求导（链式带 $u_y$）。坑：结果用原方程 $xy=u+{\mathrm{e}}^u$ 回代可大幅化简。

本题考查由方程确定的隐函数求二阶混合偏导。 对 $u+{\mathrm{e}}^u=xy$ 两边分别对 $x,y$ 求偏导（把 $u$ 视为 $x,y$ 的函数）。

对 $x$：$(1+{\mathrm{e}}^u)\frac{\partial u}{\partial x}=y\Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y}{1+{\mathrm{e}}^u}$；同理 $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{x}{1+{\mathrm{e}}^u}$。

再把 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 对 $y$ 求导：$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{(1+{\mathrm{e}}^u)-y{\mathrm{e}}^u\frac{\partial u}{\partial y}}{(1+{\mathrm{e}}^u{)}^2}=\frac{(1+{\mathrm{e}}^u{)}^2-xy{\mathrm{e}}^u}{(1+{\mathrm{e}}^u{)}^3}$。

代入原方程 $xy=u+{\mathrm{e}}^u$ 化简：$(1+{\mathrm{e}}^u{)}^2-(u+{\mathrm{e}}^u){\mathrm{e}}^u=1+2{\mathrm{e}}^u-u{\mathrm{e}}^u$，故 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{1+2{\mathrm{e}}^u-u{\mathrm{e}}^u}{(1+{\mathrm{e}}^u{)}^3}$。