1988 年考研数学（三） 第 10 题

幂指函数极限 → 一律 $x^x={\mathrm{e}}^{x\ln x}$ 化底；再用 ${\mathrm{e}}^u-1\sim u$。坑：$x\to 1$（不是 $x\to 0$），但 $x\ln x\to 0$ 才是等价替换成立的关键。

本题考查等价无穷小替换求极限。 把幂指函数写成指数：$x^x={\mathrm{e}}^{x\ln x}$，当 $x\to 1$ 时 $x\ln x\to 0$。

由 ${\mathrm{e}}^u-1\sim u(u\to 0)$，取 $u=x\ln x$：$x^x-1={\mathrm{e}}^{x\ln x}-1\sim x\ln x$。

故 $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^x-1}{x\ln x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x\ln x}{x\ln x}=1$。