1987 年考研数学（三） 第 23 题

求 $E(1/X)$ 直接套 $E(g(X))=\int gf\mathrm{d}x$，别去求 $Y=1/X$ 的分布。坑：本题 $\frac{1}{x}$ 与密度的 $x$ 约掉后是高斯积分，换元凑 $\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$（也可用 ${\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2/2a^2}\mathrm{d}x=a\sqrt{\pi /2}$）。

本题考查随机变量函数的期望公式 $E(g(X))={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)\mathrm{d}x$，无需先求 $Y$ 的分布。这里 $g(x)=\frac{1}{x}$。

$$E(Y)=E\left(\frac{1}{X}\right)={\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x}\cdot \frac{x}{a^2}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{a^2}{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\mathrm{d}x.$$
因子 $\frac{1}{x}$ 与密度里的 $x$ 恰好约掉，化为高斯型积分。

令 $\frac{x^2}{2a^2}=t$，则 $x=\sqrt{2}a\sqrt{t},\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{t}}\mathrm{d}t$：
$$E(Y)=\frac{1}{a^2}{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t}\cdot \frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{t}}\mathrm{d}t=\frac{1}{\sqrt{2}a}{\int }_0^{+\infty }{t}^{-\frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=\frac{1}{\sqrt{2}a}\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt{2}a}.$$
（用了 $\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$。）