1987 年考研数学（三）第 24 题

解答题 · 8 分

设两箱内装有同种零件：第一箱装

50

件，其中有

10

件一等品；第二箱装

30

件，其中有

18

件一等品。现从两箱中任取一箱，再从此箱中先后不放回地取两个零件，求：
(1) 先取出的零件是一等品的概率

p

；
(2) 在先取出的零件是一等品的条件下，后取出的零件仍是一等品的条件概率

q

。

提示 1

设「取到第

i

箱」

A_{i}

、「第

j

次取到一等品」

B_{j}

，先写各条件概率

P (B_{1} ∣ A_{i})

。

提示 2

(1) 全概率公式

P (B_{1}) = \sum_{i} P (A_{i}) P (B_{1} ∣ A_{i})

。

提示 3

(2) 先用全概率求

P (B_{1} B_{2})

（每箱内不放回：第二件概率分母、分子各减 1），再

q = \frac{P ( B _{1} B _{2} )}{P ( B _{1} )}

。

答案与详解

答案 $p = \frac{2}{5}$ ； $q = \frac{690}{1421}$

思路（为什么这么做）

「先选箱、再箱内抽样」→ 用全概率公式按箱分解。求「已知第一件是一等品，第二件也是」的条件概率坑在：不能直接用某一箱的比例，必须先对整体求

P (B_{1} B_{2})

与

P (B_{1})

再相除；箱内不放回时第二次概率分子分母同减 1。

解答

本题考查全概率公式与条件概率。 记

A_{1} = {

取第一箱

}, A_{2} = {

取第二箱

}

，

P (A_{1}) = P (A_{2}) = \frac{1}{2}

；

B_{1} = {

第一次取到一等品

}, B_{2} = {

第二次取到一等品

}

。
其中

P (B_{1} ∣ A_{1}) = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}, P (B_{1} ∣ A_{2}) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}

。

(1) 由全概率公式：

p = P (B_{1}) = P (A_{1}) P (B_{1} ∣ A_{1}) + P (A_{2}) P (B_{1} ∣ A_{2}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} + \frac{3}{5}) = \frac{2}{5} .

(2) 先算

P (B_{1} B_{2})

（同一箱内不放回连取两件一等品），仍用全概率公式：

P (B_{1} B_{2}) = \frac{1}{2} (\frac{10}{50} \cdot \frac{9}{49} + \frac{18}{30} \cdot \frac{17}{29}) = \frac{276}{29 \times 49} = \frac{276}{1421} .

(2) 续： 由条件概率定义

q = P (B_{2} ∣ B_{1}) = \frac{P ( B _{1} B _{2} )}{P ( B _{1} )} = \frac{276/1421}{2/5} = \frac{690}{1421} .

1987 年考研数学（三） 第 24 题