2026 年考研数学（二） 第 9 题

这题直接解最省事：$AB=C$ 按列拆成两个方程组，而 $A$ 的前三行几乎是三角的，$x_3\to x_1\to x_2$ 依次代出来，连消元都不用，两列各三步。求出解后第四行乘一下就是 $a$、$b$。
做完值得多看一眼：$A$ 的第 4 行 $=$ 第 3 行 $-2\times$ 第 2 行，而 $C$ 的第 $i$ 行就是 $A$ 的第 $i$ 行乘 $B$，所以这条关系 $C$ 原样满足，$(a,b)$ 可以一步读出。本题两法都快，但矩阵一大，后者才做得动。

解法一（直接解，不需要任何技巧）。 设 $B$ 的两列分别为 $x=(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathrm{T}}$ 与 $y=(y_1,y_2,y_3{)}^{\mathrm{T}}$，则 $AB=C$ 就是两个方程组 $Ax=c_1$、$Ay=c_2$。$A$ 的前三行几乎是三角的，解起来连消元都不用：

第一列 $c_1=(2,1,1,a{)}^{\mathrm{T}}$：
$$\begin{array}{rl}{x}_1+x_3& =2\\ x_3& =1\\ x_1+x_2+3x_3& =1\end{array}$$
第二式直接给出 $x_3=1$，代入第一式得 $x_1=1$，再代入第三式得 $x_2=1-1-3=-3$。第四行给出 $a=x_1+x_2+x_3=1-3+1=-1$。

第二列 $c_2=(0,1,1,b{)}^{\mathrm{T}}$：同样三步得 $y_3=1,y_1=-1,y_2=-1$，于是 $b=y_1+y_2+y_3=-1$。故 $a=b=-1$，选 A。

解法二（看出来就是一步）。 注意 $A$ 的行满足$$r_3-2r_2=(1,1,3)-(0,0,2)=(1,1,1)=r_4.$$而 $C=AB$ 的第 $i$ 行就是 $A$ 的第 $i$ 行乘 $B$，所以行之间的线性关系右乘 $B$ 之后原样保留，$C$ 的行必然满足同一条：$$(a,b)=(1,1)-2(1,1)=(-1,-1).$$$B$ \text{里六个未知数一个都不用求。这条关系看不出来也不吃亏}——\text{解法一照样两分钟做完；但它值得记住，因为}\text{换成} $A$ \text{是} $10\times 9$ 也照样一步，而那时解方程组就不轻松了。

通法备注。 更一般地，$AB=C$ 有解 $\iff$ $C$ 的每一列都能由 $A$ 的列线性表示 $\iff r(A)=r(A,c_i)$：把增广矩阵 $(A,c_i)$ 行化简，令其秩不超过 $r(A)=3$，即得关于 $a$、$b$ 的条件。
行化简的过程其实就是在找解法二那条关系——化到最后一行全零时，所用的消元系数正是 $r_4-r_3+2r_2=0$。三条路走的是同一件事，区别只在看出来、算出来、还是解出来。