2026 年考研数学（二） 第 10 题

突破口是配方 $(A-B{)}^2=O$，记 $M=A-B\ne O$，A、B、C 顺理成章。D 是陷阱，而拆穿它只要一条链：$M^2=O$ 说明 $M$ 的每一列都是 $Mx=O$ 的解，故 $r(M)\le 3-r(M)$，得 $r(M)=1$；于是线性无关特征向量有 $3-r(M)=2$ 个，不是 $1$ 个。反过来看更清楚：要「只有一个」就得 $r(M)=2$，而那与 $M^2=O$ 直接冲突——「只有一个特征向量」和「$M^2=O$」不能并存。

本题考查矩阵恒等变形、幂零矩阵的特征值与几何重数（线性无关特征向量个数）。

由 $AB+BA=A^2+B^2$ 得 $A^2-AB-BA+B^2=O$，即 $(A-B{)}^2=O$。记 $M=A-B\ne O$。

A 对： $(A-B{)}^3=M\cdot M^2=O$。

B 对： $M^2=O\Rightarrow M$ 幂零 $\Rightarrow$ 特征值全为 $0$。

C 对： 若 $A,B$ 均对角则可交换，$M=A-B$ 也对角且 $M^2=O\Rightarrow M=O\Rightarrow A=B$，与 $A\ne B$ 矛盾，故不能都对角。

D 错。 先看 $M$ 到底能长成什么样子。$M$ 是 $3$ 阶、$M^2=O$、$M\ne O$，这三条把它钉得很死：$M^2=O$ 意味着 $M$ 的每一列都是齐次方程组 $Mx=O$ 的解，于是列空间含在解空间里，秩满足$$r(M)\le 3-r(M)⟹r(M)\le 1;$$又 $M\ne O$，故 $r(M)=1$。

秩定下来，线性无关特征向量的个数就定下来了：特征值全为 $0$，对应的特征向量就是 $Mx=O$ 的非零解，而解空间的维数 $=3-r(M)=2$。是 $2$ 个，不是 $1$ 个，所以 D 错。

反过来验一遍更直接：若 D 成立、只有 $1$ 个线性无关特征向量，就要 $3-r(M)=1$，即 $r(M)=2$；而上面刚证了 $M^2=O$ 逼着 $r(M)\le 1$。两者矛盾，D 不可能成立。

看得见的样子。 取 $M=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$：$M^2=O$、$r(M)=1$，而 $Mx=O$ 就是 $x_2=0$，解空间 $\{(x_1,0,x_3{)}^{\mathrm{T}}\}$ 是 $2$ 维的——两个自由变量，两个线性无关的特征向量，一眼可数。
再排除另一种猜测：若 $M$ 形如 $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$（这个才是「只有 $1$ 个线性无关特征向量」的样子），算一下$$M^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\ne O,$$不满足题设。「只有一个特征向量」与「$M^2=O$」本来就不能并存，这正是 D 错的根源。