2026 年考研数学（二） 第 11 题

两端点分别定阶是关键。近 $0$ 端：$\arctan x\sim x$ 把被积函数化为 $\sim x^{1-p}$，${\int }_0^1$ 收敛要 $1-p>-1$ 即 $p<2$；无穷端：$\arctan x\to \frac{\pi }{2}$，被积 $\sim x^{-(p+1)}$，${\int }^{\infty }$ 收敛要 $p+1>1$ 即 $p>0$。取交集 $0<p<2$。含参反常积分收敛务必「两头都管」。

本题考查含参反常积分的收敛性（两端点分别讨论）。 拆成 ${\int }_0^1+{\int }_1^{+\infty }=I_1+I_2$。

$I_1$（$x\to 0^{+}$）：$\arctan x\sim x$，$x+1\to 1$，被积函数 $\sim \frac{x}{x^p}=\frac{1}{x^{p-1}}$。${\int }_0^1{x}^{-(p-1)}dx$ 收敛 $\iff p-1<1\iff p<2$。

$I_2$（$x\to +\infty$）：$\arctan x\to \frac{\pi }{2}$，$x+1\sim x$，被积函数 $\sim \frac{\pi /2}{x^{p+1}}$。${\int }_1^{+\infty }{x}^{-(p+1)}dx$ 收敛 $\iff p+1>1\iff p>0$。

两端都收敛 $\iff 0<p<2$。