2026 年考研数学（二） 第 12 题

见「$\frac{1}{x}$ 减分式」先通分。通分后分母 $x\sin x\sim x^2$，分子 $\sin x-\ln (1+x)$ 用泰勒：一次项 $x$ 抵消，二次项 $0-(-\frac{x^2}{2})=\frac{x^2}{2}$ 是主部。故极限 $=\frac{1}{2}$。此题不宜洛必达（要两次且易错），泰勒最稳。

本题考查极限计算（通分 + 泰勒展开）。

通分：$\frac{1}{x}-\frac{\ln (1+x)}{x\sin x}=\frac{\sin x-\ln (1+x)}{x\sin x}$。分母 $x\sin x\sim x^2$。

分子泰勒展开：$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，相减得
$$\sin x-\ln (1+x)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{2}+o(x^3)\sim \frac{x^2}{2}.$$

故极限 $=\frac{x^2/2}{x^2}=\frac{1}{2}$。