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2026 年考研数学（二）第 13 题

填空题 · 5 分

曲线

x^{2} + 23 x y + y^{2} = 1

在点

(0, 1)

处的曲率半径为 ___。

提示 1

隐函数两次求导，先代

(0, 1)

求

y^{'}

，再代求

y^{''}

。

提示 2

曲率公式

k = \frac{∣ y ^{''} ∣}{( 1 + y ^{'2} ) ^{3/2}}

，曲率半径

R = \frac{1}{k}

。

提示 3

注意

(1 + 3)^{3/2} = 4^{3/2} = 8

。

答案与详解

答案 $4$

思路（为什么这么做）

曲率半径三步：隐函数一阶导得

y^{'} (0, 1) = - 3

；二阶导得

y^{''} (0, 1) = 2

；代曲率公式

k = \frac{∣ y ^{''} ∣}{( 1 + y ^{'2} ) ^{3/2}} = \frac{2}{4 ^{3/2}} = \frac{1}{4}

，

R = \frac{1}{k} = 4

。别把

(1 + 3)^{3/2}

算错。

解答

本题考查隐函数二阶导与曲率（曲率半径）公式。

对

x^{2} + 23 x y + y^{2} = 1

求导：

2 x + 23 y + 23 x y^{'} + 2 y y^{'} = 0

……①。代入

(0, 1)

：

23 + 2 y^{'} = 0 \Rightarrow y^{'} = - 3

。

对 ① 再求导：

2 + 23 y^{'} + 23 y^{'} + 23 x y^{''} + 2 (y^{'})^{2} + 2 y y^{''} = 0

。代入

(0, 1), y^{'} = - 3

：

2 + 43 (- 3) + 2 \cdot 3 + 2 y^{''} = 0 \Rightarrow 2 - 12 + 6 + 2 y^{''} = 0 \Rightarrow y^{''} = 2

。

曲率

k = \frac{∣ y ^{''} ∣}{( 1 + y ^{'2} ) ^{3/2}} = \frac{2}{( 1 + 3 ) ^{3/2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

，曲率半径

R = \frac{1}{k} = 4

。

考点：曲率与曲率半径、曲率圆、隐函数与参数方程求导

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