乐思数学通 › 考研数学（二） › 真题检索 › 2026 年

2026 年考研数学（二）第 14 题

填空题 · 5 分

已知函数

f (x, y)

可微，且

d f (0, 0) = π d x + 3 d y

。记

g (x) = f (ln x, sin π x)

，则

g^{'} (1) =

___。

提示 1

由全微分

d f = f_{x} d x + f_{y} d y

直接读出

f_{x} (0, 0) = π, f_{y} (0, 0) = 3

。

提示 2

复合函数

g (x) = f (u (x), v (x))

求导

g^{'} = f_{u} u^{'} + f_{v} v^{'}

。

提示 3

注意

x = 1

时内层

(ln 1, sin π) = (0, 0)

，恰好用到已知偏导。

答案与详解

答案 $- 2 π$

思路（为什么这么做）

全微分的系数就是偏导数：

f_{x} (0, 0) = π, f_{y} (0, 0) = 3

。链式法则

g^{'} (1) = f_{x} \cdot \frac{1}{x}_{x = 1} + f_{y} \cdot π cos π x_{x = 1} = π \cdot 1 + 3 \cdot (- π) = - 2 π

。关键是验证

x = 1

时内层落在

(0, 0)

，才能套用已知偏导。

解答

本题考查全微分（读偏导）与多元复合函数求导。

由

d f (0, 0) = π d x + 3 d y

知

f_{x} (0, 0) = π, f_{y} (0, 0) = 3

。

g (x) = f (ln x, sin π x)

，链式法则

g^{'} (x) = f_{x} \cdot \frac{1}{x} + f_{y} \cdot π cos π x

。

在

x = 1

：内层

(ln 1, sin π) = (0, 0)

，恰用已知偏导；

\frac{1}{x} = 1

，

π cos π = - π

。故

g^{'} (1) = π \cdot 1 + 3 \cdot (- π) = - 2 π .

考点：全微分、多元复合函数求导法则

← 2026 年全部题目