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2026 年考研数学（二）第 15 题

填空题 · 5 分

函数

f (x) = ln (2 + x)

在区间

[0, 2]

上的平均值为 ___。

提示 1

区间

[a, b]

上平均值

= \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f d x

。

提示 2

\int ln (2 + x) d x

用换元

t = 2 + x

化成

\int ln t d t

。

提示 3

\int ln t d t = t ln t - t

（分部积分）；利用

4 ln 4 = 8 ln 2

化简。

答案与详解

答案 $3 ln 2 - 1$

思路（为什么这么做）

平均值公式

= \frac{1}{b - a} \int

。算

\int_{0}^{2} ln (2 + x) d x

换元

t = 2 + x

变

\int_{2}^{4} ln t d t = [t ln t - t]

，利用

4 ln 4 = 8 ln 2

化简得

6 ln 2 - 2

，除以区间长

2

得

3 ln 2 - 1

。

解答

本题考查函数在区间上的平均值与定积分计算（分部积分）。

平均值

= \frac{1}{2 - 0} \int_{0}^{2} ln (2 + x) d x

。

令

t = 2 + x

：

\int_{0}^{2} ln (2 + x) d x = \int_{2}^{4} ln t d t = [t ln t - t]_{2}^{4} = (4 ln 4 - 4) - (2 ln 2 - 2) = 8 ln 2 - 2 ln 2 - 2 = 6 ln 2 - 2

。

故平均值

= \frac{1}{2} (6 ln 2 - 2) = 3 ln 2 - 1

。

考点：定积分的计算、换元积分法与分部积分法

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