2026 年考研数学（二） 第 16 题

关键一步：$A{A}^{\mathrm{T}}$ 半正定，「规范形 $=y_1^2$」意味着秩 $1$ 且正惯性指数 $1\Rightarrow r(A)=1\Rightarrow A$ 两行成比例。列出 $1:(a+2)=b:3=(-1):(-3a)$，解得 $a=1,b=1$，$a+b=2$。别忘 $A{A}^{\mathrm{T}}$ 半正定这个前提，否则会误判符号。

本题考查二次型规范形、矩阵秩与 $A{A}^{\mathrm{T}}$ 的性质。

$A{A}^{\mathrm{T}}$ 恒半正定，其非零特征值全为正。规范形为 $y_1^2$（只有一个 $+1$ 平方项）$\Rightarrow r(A{A}^{\mathrm{T}})=1\Rightarrow r(A)=1$。

$A$ 是 $2\times 3$ 矩阵，$r(A)=1\iff$ 两行成比例：$\frac{1}{a+2}=\frac{b}{3}=\frac{-1}{-3a}$。

由 $\frac{1}{a+2}=\frac{-1}{-3a}$（即 $3a=a+2$）得 $a=1$；由 $\frac{b}{3}=\frac{1}{a+2}=\frac{1}{3}$ 得 $b=1$。故 $a+b=2$。