2026 年考研数学（二） 第 8 题

抓住两条：置换矩阵的逆仍是置换矩阵（恒成立 $\Rightarrow$ B 对）；而 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$，行列式 $|A|=\pm 1$ 不定，当 $|A|=-1$ 时 $A^{\ast }=-A^{-1}$ 含 $-1$ 元素，不是置换矩阵，也使 C、D 只在特定符号下成立。唯一「恒真」的是 B。

本题考查置换矩阵、伴随矩阵与逆矩阵的关系。

置换矩阵是若干对换初等阵之积：$A=E_{i_1{j}_1}{E}_{i_2{j}_2}\cdots E_{i_k{j}_k}$。因对换阵对合 $E_{ij}^{-1}=E_{ij}$，故 $A^{-1}=E_{i_k{j}_k}\cdots E_{i_1{j}_1}$ 仍是置换矩阵。B 正确。

又 $|A|=\pm 1$（每次对换变号），$A^{\ast }=|A|A^{-1}=\pm A^{-1}$。当 $|A|=1$ 时 $A^{\ast }=A^{-1}$ 是置换矩阵；当 $|A|=-1$ 时 $A^{\ast }=-A^{-1}$，元素为 $0$ 和 $-1$，不是置换矩阵。故 A（$A^{\ast }$ 为置换矩阵）不总成立。

C（$A^{-1}=A^{\ast }$）仅当 $|A|=1$；D（$A^{-1}=-A^{\ast }$）仅当 $|A|=-1$，都不总成立。故选 B。