2026 年考研数学（二） 第 7 题

对称化 + 黎曼和配系数。第一步：$f(x,y)=f(y,x)$ 是关于 $y=x$ 的对称（不是反对角线 $x+y=1$），故 $I=2{\iint }_{\text{下三角}}f$，直接排除用 $x+y\ge 1$、$x+y\le 1$ 的 A、C。第二步：下三角用 $2n$ 等分，格面积 $\frac{1}{4n^2}$；选项权重写成 $\frac{1}{n^2}$，差 $4$ 倍，故前系数应为 $2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。综合得 D。

本题考查二重积分的对称性与二重积分作为黎曼和的极限。

由 $f(x,y)=f(y,x)$（关于直线 $y=x$ 对称），记 $I={\iint }_{D}f$，则 $I=2{\iint }_{\{y\le x\}}fdA$（下三角，对角线测度为零不影响）。

用 $2n\times 2n$ 均匀网格逼近下三角 $\{0\le y\le x\le 1\}$，每个小格面积 $\frac{1}{(2n{)}^2}$：
$${\iint }_{\{y\le x\}}f=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^{i}f\left(\frac{i}{2n},\frac{j}{2n}\right)\frac{1}{(2n{)}^2}.$$

故 $I=2\lim \sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^{i}f\frac{1}{4n^2}=\frac{1}{2}\lim \sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^{i}f\left(\frac{i}{2n},\frac{j}{2n}\right)\frac{1}{n^2}$（因 $\frac{1}{n^2}=\frac{4}{(2n{)}^2}$）。故选 D。

核对其余项：A、C 的求和区域是反对角线 $x+y\le 1$（或 $\ge 1$），与 $y=x$ 对称性无关，错；B 用 $n\times n$ 上三角配系数 $\frac{1}{2}$ 只给 $\frac{1}{4}I$，错。