2026 年考研数学（二） 第 6 题

两步定位。先由 $f(1)=0$（积分上下限相同）得 $g(0)=1$，立刻排除 $g(1)=0$ 的 C、D。再用反函数求导 $g^{\prime }(0)=1/f^{\prime }(1)$：注意 $f^{\prime }(x)$ 的变限积分求导要对上限 $x^3$ 乘 $3x^2$，得 $f^{\prime }(1)=\frac{3e}{2}$，取倒数即 $\frac{2}{3e}$。选 B。

本题考查变限积分求导与反函数求导。

由 $f(1)={\int }_1^1\frac{e^t}{1+t^2}dt=0$，即 $f(1)=0$，故 $g(0)=1$（排除 $g(1)=0$ 的 C、D）。

变限积分求导（上限 $x^3$ 求导乘 $3x^2$）：$f^{\prime }(x)=\frac{e^{x^3}}{1+x^6}\cdot 3x^2$，故 $f^{\prime }(1)=\frac{3\cdot 1\cdot e}{1+1}=\frac{3e}{2}$。

由反函数求导 $g^{\prime }(0)=\frac{1}{f^{\prime }(g(0))}=\frac{1}{f^{\prime }(1)}=\frac{1}{3e/2}=\frac{2}{3e}$。故选 B。