2026 年考研数学（二） 第 5 题

概念辨析题，专治「想当然」。A、B 的反例都利用 $x=0$ 处不连续（单调与极值缺了连续性就断链）。C 是凹函数（下凸 $f^{\prime \prime }\ge 0$）的经典性质：固定端点 $(1,f(1))$，割线斜率 $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 随 $x$ 单调递增。D 把它反过来，但「从一个端点看割线单调」远弱于「处处凹」，故不成立。选 C。

本题考查单调性、极值、凹凸性与割线斜率单调性之间的关系。 这里「凹的」指下凸（$f^{\prime \prime }\ge 0$，形如 $\cup$）。逐项分析。

A 错。 仅在开区间上单调，因 $f$ 在 $0$ 处可能不连续，推不出 $f(0)$ 是极小值。反例：$f(x)=x^2(x\ne 0),f(0)=1$，则 $f$ 在 $(-1,0)$ 递减、$(0,1)$ 递增，但 $0$ 附近 $f(x)=x^2\to 0<1=f(0)$，故 $f(0)$ 不是极小值。

B 错。 $f(0)$ 是极小值只保证 $0$ 的某邻域内 $f(0)\le f(x)$，推不出整段单调。反例：$f(x)=-x^2+1(x\ne 0),f(0)=0$，$f(0)=0$ 是极小值，但 $f$ 在 $(-1,0)$ 单调递增、$(0,1)$ 单调递减，与所述相反。

C 对。 若 $f$ 凹（下凸），对 $x_1<x_2<1$，由凸性（割线斜率单调）有 $\frac{f(1)-f(x_1)}{1-x_1}\le \frac{f(1)-f(x_2)}{1-x_2}$，即 $\frac{f(x_1)-f(1)}{x_1-1}\le \frac{f(x_2)-f(1)}{x_2-1}$，故割商 $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 单调递增。

D 错（C 的逆命题）。 割商只由单个固定端点 $(1,f(1))$ 处的斜率单调决定，条件弱于整体凹性，一般不成立。反例：$f(x)=(x-1)e^{3x}$，则 $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=e^{3x}$ 在 $[-1,1)$ 单调递增，但 $f^{\prime \prime }(x)=e^{3x}(9x-3)$ 在 $x=-1$ 处为负，图形并非处处凹。故应选 C。