2026 年考研数学（二） 第 4 题

微元法求引力三步：写 $dm$、写 $r$、写 $dF$。陷阱在「合力方向」：由对称性水平分量抵消，必须乘方向余弦 $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ 取竖直分量，这一步把分母从 $(x^2+1)$ 变成 $(x^2+1{)}^{3/2}$——正是区分选项的关键。对称区间 $[-1,1]$ 化成 $2{\int }_0^1$，得 D。

本题考查定积分的物理应用（万有引力）。 用微元法。

细棒位于 $x$ 轴上 $[-1,1]$。取位于 $(x,0)$、长为 $dx$ 的微元，质量 $dm=1\cdot dx$。它与质点 $(0,1)$ 的距离 $r=\sqrt{x^2+1}$，故引力微元大小 $dF=\frac{Gmdm}{r^2}=\frac{Gmdx}{x^2+1}$。

由于棒关于 $y$ 轴对称，水平分量两两抵消，只剩竖直分量。竖直方向余弦 $\cos \theta =\frac{1}{r}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，故
$$d{F}_y=dF\cos \theta =\frac{Gm}{x^2+1}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\frac{Gm}{(x^2+1{)}^{3/2}}dx.$$

对全棒积分并用偶对称：$F={\int }_{-1}^1\frac{Gm}{(x^2+1{)}^{3/2}}dx={\int }_0^1\frac{2Gm}{(x^2+1{)}^{3/2}}dx$。故选 D。