2026 年考研数学（二） 第 3 题

隐函数偏导直接对确定式两端求偏导即可。此题妙处在最后一步：$\frac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 的分母都是 $a(1+e^{y+az})$，分子分别是 $1$ 与 $-e^{y+az}$，相减得 $\frac{1+e^{y+az}}{a(1+e^{y+az})}=\frac{1}{a}$，指数项被约掉。故选带 $\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$ 的 A。

本题考查由方程确定的多元隐函数求偏导。 对确定式 $x-az=e^{y+az}$ 两端分别关于 $x$、$y$ 求偏导。

对 $x$ 求偏导：$1-a\frac{\partial z}{\partial x}=e^{y+az}\cdot a\frac{\partial z}{\partial x}$，即 $1=a\frac{\partial z}{\partial x}\left(1+e^{y+az}\right)$，故 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{a\left(1+e^{y+az}\right)}$。

对 $y$ 求偏导：$-a\frac{\partial z}{\partial y}=e^{y+az}\left(1+a\frac{\partial z}{\partial y}\right)$，整理得 $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-e^{y+az}}{a\left(1+e^{y+az}\right)}$。

相减：$\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1+e^{y+az}}{a\left(1+e^{y+az}\right)}=\frac{1}{a}$。故选 A。