2026 年考研数学（二） 第 2 题

关键记住：特解的线性组合 $c_1{y}_1+c_2{y}_2$ 作用算子 $L$ 得 $(c_1+c_2)f$。「仍是非齐次解」$\iff$ 系数和为 $1$，即 $2\lambda +\mu =1$；「是对应齐次解」$\iff$ 系数和为 $0$，即 $\lambda -2\mu =0$。解得 $\lambda =\frac{2}{5},\mu =\frac{1}{5}$。

本题考查线性微分方程解的结构（叠加原理）。 设方程为 $L[y]=f$（$f\ne 0$），则两特解满足 $L[y_1]=L[y_2]=f$。

对线性组合，$L[c_1{y}_1+c_2{y}_2]=(c_1+c_2)f$。

$2\lambda y_1+\mu y_2$ 仍是非齐次方程的解，需 $(2\lambda +\mu )f=f$，即 $2\lambda +\mu =1$。

$\lambda y_1-2\mu y_2$ 是齐次方程的解，需 $(\lambda -2\mu )f=0$，即 $\lambda -2\mu =0$，亦即 $\lambda =2\mu$。

联立 $2(2\mu )+\mu =1\Rightarrow \mu =\frac{1}{5},\lambda =\frac{2}{5}$。故选 B。